Bonjour tout le monde ! On va revenir sur le 4ème cours magistral, qui portait sur les applications et fonctions.
3. Composition.
Soient \(f:E\to F\) et \(g:G\to H\). On note pour tout \(h:I\to J\) et pour tout ensemble \(K\subset J\) que \(h^{-1}(K)=\{x\in I:h(x)\in K\}\) (cf Images et réciproques ci-dessous). Alors,
$$\begin{array}cf\circ g&:&g^{-1}(H\cap E)&\longrightarrow&f(H\cap E)\\&&x&\longmapsto&f(g(x))\end{array}$$
4. Images et réciproques.
Soit \(f:E\to F\).
Chapitre 4. Fonctions usuelles.
1. Polynômes ℝ[x].
2. Partie entière.
La partie entière de \(x\), notée \(\lfloor x\rfloor\) ou \(E(x)\), est définie comme l'application suivante :
$$\begin{array}cE&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb Z\\&&x&\longmapsto&\max\{n\in\mathbb Z:n\le x\}\end{array}$$C'est une fonction qui ressemble à un escalier de marches régulières.
Aparté : Soit \(\{\!\!\{x\}\!\!\}=x-\lfloor x\rfloor\). Alors,
3. Fonctions trigonométriques.
Il est attendu que l'on connaisse, ou au moins nous puissions retrouver les relations trigonométriques suivantes :
3. Composition.
Soient \(f:E\to F\) et \(g:G\to H\). On note pour tout \(h:I\to J\) et pour tout ensemble \(K\subset J\) que \(h^{-1}(K)=\{x\in I:h(x)\in K\}\) (cf Images et réciproques ci-dessous). Alors,
$$\begin{array}cf\circ g&:&g^{-1}(H\cap E)&\longrightarrow&f(H\cap E)\\&&x&\longmapsto&f(g(x))\end{array}$$
4. Images et réciproques.
Soit \(f:E\to F\).
- Si \(A\subset E\), \(f(A)=\{f(x):x\in A\}\).
- Si \(B\subset F\), \(f^{-1}(B)=\{x\in E:f(x)\in B\}\).
Chapitre 4. Fonctions usuelles.
1. Polynômes ℝ[x].
- Fonctions affines :
\(\begin{array}cf&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\\&&x&\longmapsto&ax+b\end{array}\)
Sur les graphes de fonctions affines, il faut savoir lire b, le signe de a et savoir le calculer graphiquement (\(\Delta Y/\Delta X\)). - Trinômes du deuxième degré:
\(\begin{array}cf&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\\&&x&\longmapsto&ax^2+bx+c&(a\ne0)\end{array}\)
Sur les graphes de tels polynômes, il faut savoir lire b, le signe de a, trouver les racines, savoir calculer \(-b/2a\), le discriminant \(\Delta\) et lire son signe.
2. Partie entière.
La partie entière de \(x\), notée \(\lfloor x\rfloor\) ou \(E(x)\), est définie comme l'application suivante :
$$\begin{array}cE&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb Z\\&&x&\longmapsto&\max\{n\in\mathbb Z:n\le x\}\end{array}$$C'est une fonction qui ressemble à un escalier de marches régulières.
Aparté : Soit \(\{\!\!\{x\}\!\!\}=x-\lfloor x\rfloor\). Alors,
$$\int\;\lfloor x\rfloor\;\text dx=\left\lfloor\sqrt{x^2}\right\rfloor\left(\left\{\!\!\left\{\sqrt{x^2}\right\}\!\!\right\}+\frac12\left\lfloor\sqrt{x^2}-1\right\rfloor\right)\text{sgn}\;n+\text{constante}$$
ce qui, bien sûr, lorsque \(x\) parcourt les réels de 0 à \(n\in\mathbb N\), coïncide avec la somme des \(n\) premiers nombres entiers :
$$\int_0^n\;\lfloor x\rfloor\;\text dx=\frac12\;n\;(n+1)$$3. Fonctions trigonométriques.
- \(\sin(\pi/2-\alpha)=+\cos\alpha\)
- \(\sin(\pi/2+\alpha)=+\cos\alpha\)
- \(\cos(\pi/2-\alpha)=-\sin\alpha\)
- \(\cos(\pi/2+\alpha)=+\sin\alpha\)
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire