Résumé CM 4 : Applications, fonctions usuelles (L1 Maths-info)

Bonjour tout le monde ! On va revenir sur le 4ème cours magistral, qui portait sur les applications et fonctions.

3. Composition.

Soient $f:E\to F$ et $g:G\to H$. On note pour tout $h:I\to J$ et pour tout ensemble $K\subset J$ que $h^{-1}(K)=\{x\in I:h(x)\in K\}$ (cf Images et réciproques ci-dessous). Alors,
$$\begin{array}cf\circ g&:&g^{-1}(H\cap E)&\longrightarrow&f(H\cap E)\\&&x&\longmapsto&f(g(x))\end{array}$$
4. Images et réciproques.

Soit $f:E\to F$.

• Si $A\subset E$, $f(A)=\{f(x):x\in A\}$.
• Si $B\subset F$, $f^{-1}(B)=\{x\in E:f(x)\in B\}$.

Chapitre 4. Fonctions usuelles.

1. Polynômes ℝ[x].

• Fonctions affines :
  $\begin{array}cf&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\\&&x&\longmapsto&ax+b\end{array}$
  Sur les graphes de fonctions affines, il faut savoir lire b, le signe de a et savoir le calculer graphiquement ($\Delta Y/\Delta X$).
• Trinômes du deuxième degré:
  $\begin{array}cf&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\\&&x&\longmapsto&ax^2+bx+c&(a\ne0)\end{array}$
  Sur les graphes de tels polynômes, il faut savoir lire b, le signe de a, trouver les racines, savoir calculer $-b/2a$, le discriminant $\Delta$ et lire son signe. 

2. Partie entière.
La partie entière de $x$, notée $\lfloor x\rfloor$ ou $E(x)$, est définie comme l'application suivante :
$$\begin{array}cE&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb Z\\&&x&\longmapsto&\max\{n\in\mathbb Z:n\le x\}\end{array}$$ C'est une fonction qui ressemble à un escalier de marches régulières.

Aparté : Soit $\{\!\!\{x\}\!\!\}=x-\lfloor x\rfloor$. Alors,

$$\int\;\lfloor x\rfloor\;\text dx=\left\lfloor\sqrt{x^2}\right\rfloor\left(\left\{\!\!\left\{\sqrt{x^2}\right\}\!\!\right\}+\frac12\left\lfloor\sqrt{x^2}-1\right\rfloor\right)\text{sgn}\;n+\text{constante}$$ ce qui, bien sûr, lorsque $x$ parcourt les réels de 0 à $n\in\mathbb N$, coïncide avec la somme des $n$ premiers nombres entiers :

$$\int_0^n\;\lfloor x\rfloor\;\text dx=\frac12\;n\;(n+1)$$

3. Fonctions trigonométriques.
Il est attendu que l'on connaisse, ou au moins nous puissions retrouver les relations trigonométriques suivantes :

• $\sin(\pi/2-\alpha)=+\cos\alpha$
• $\sin(\pi/2+\alpha)=+\cos\alpha$
• $\cos(\pi/2-\alpha)=-\sin\alpha$
• $\cos(\pi/2+\alpha)=+\sin\alpha$