Bonjour tout le monde ! Aujourd'hui, on va compléter le chapitre sur
les calculs algébriques qu'on avait commencé dans le premier CM.
1.6. Notation sigma
Que l'on soit bien clairs, pour \((s_k)_{k\ge a}\) une suite de réels (voire de complexes), \(a\le b\) deux entiers naturels, lorsqu'on écrit $$s_a+s_{a+1}+s_{a+2}+\cdots+s_{b-2}+s_{b-1}+s_b$$ c'est assez peu rigoureux. On préfèrera alors écrire $$\sum_{k=a}^bs_k$$ ce qui, en soit, est exactement la même chose. Or, ici, on retrouve une variable $k$ qui semble venir de nulle part. Cette variable, que l'on appelle variable muette, ne peut être utilisée autre part que dans cette somme – c'est une variable locale, si j'ose dire. En gros, cette notation nous rapproche plus d'une boucle pour, un peu de la sorte :
\(\tt somme:r\acute eel\)
\(\tt a,b,k:entiers\)
\(\tt somme\leftarrow0\)
\(\tt pour~k~allant~de~a~\grave a~b~par~pas~de~1\)
\(\tt ~~~~somme\leftarrow somme+\it a_{\tt k}\)
\(\tt fin~pour\)
Ainsi, le \(k\) dans la somme sert ne fait que parcourir tous les entiers entre \(a\) et \(b\), et avec toutes les valeurs obtenues dans ce parcours, on additionne tous ces termes pour former la somme. Surtout, retenez bien qu'il y a \(b-a+1\) termes dans une somme parcourant les entiers de \(a\) à \(b\), et non pas \(b-a\) – cette erreur est très courante.
Imaginons, dans un exercice, que vous ayiez la formule pour la somme des entiers naturels jusqu'à \(n\), càd :
$$\sum_{k=0}^nk=\frac n2(n+1)$$
Or, on vous demande de calculer
$$\sum_{k=1}^{n+1}(k-1)$$
Comment faire ? Eh bien, la plus simple serait de légèrement décaler la variable muette ; c'est ce que l'on appelle un changement de variable. Pour cela, on doit trouver \(\ell\) tel que \(\ell=k+a\) pour une valeur \(a\) judicieusement choisie – plus vous ferez de changements de variables, plus la valeur à utiliser vous semblera évidente. Pour le coup, je choisirais \(a=-1\), car le problème c'est le \(k-1\) alors qu'on connaît la formule uniquement pour les \(k\). Ainsi, on a \(\ell=k-1\iff k=\ell+1\). On a donc une somme qui parcourt les \({\bf\ell+1}-1=\ell\) pour \(\ell\) allant de \(\textbf 1-1=0\) à \(\textbf{n+1}-1=n\), c'est-à-dire
$$\sum_{\ell=0}^n\ell=\frac n2(n+1)$$
puisque le nom de la variable muette n'importe pas, ce qui résout notre problème !
Bien sûr, puisque c'est une somme, multiplier la somme par une constante \(\lambda\in\mathbb C\) revient à multiplier chaque terme par \(\lambda\) avant de les additionner (distributivité de la multiplication sur la somme), ce qui, formellement, pour n'importe quel ensemble \(E\), se retranscrit de la sorte :
$$\lambda\sum_{e\in E}e=\sum_{e\in E}\lambda e$$
Il existe également ce que l'on appelle des sommes télescopiques, de la forme
$$\sum_{k=a}^{b-1}(s_k-s_{k+1})=s_a-s_b$$
1.7. Deux sommes à connaître
La première, prouvable par récurrence, donne
$$\sum_{k=0}^nk=\frac n2(n+1)$$
La seconde, prouvable grâce aux sommes télescopiques (hint : multipliez par \(q-1\) des deux côtés), donne
$$\sum_{k=0}^nq^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$$
pour tout \(q\ne1\), sinon ce serait simplement \(n+1\).
Chapitre 2. Ensembles et applications
1. Partitions d'un ensemble
1.1. Formulations implicites et paramétriques
Partons de l'exemple du cours : le cercle unité. Il existe diverses manières de le décrire avec un ensemble. La première,
$$\{M\in\mathcal P:d(O,M)=1\}$$
est une partition du plan euclidien \(\mathcal P\). La seconde,
$$\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2=1\}$$
nous donne une partition de l'ensemble \(\mathbb R^2\) des paires de réels. Enfin,
$$\{(\cos t,\sin t):t\in[-\pi,\pi)\}$$
nous donne une également une partition de \(\mathbb R^2\). Les deux premières descriptions sont implicites : elles prennent un ensemble et donnent les éléments de cet ensemble qui vérifient la propriété qui se trouvent après les deux-points (ou la barre verticale, ou le "tel que"). La dernière, en revanche, est dite paramétrique car donne les valeurs d'une application \([-\pi,\pi)\longrightarrow\mathbb R^2\) lorsque la variable parcourt le domaine de l'application. Tout dépend ainsi d'où se trouve le symbole \(\in\) par rapport aux deux-points/barre verticale/"tel que"
1.2. 3 opérations : ∪, ∩, complémentaire
\(A\cup B\), c'est l'union de A et de B, càd tous les éléments de soit A, soit B, soit les deux ensembles en même temps. \(A\cap B\), c'est l'intersection de A et de B, càd tous les éléments de A qui sont également dans B, et vice-versa. Enfin, le complémentaire de \(A\subset E\) dans \(E\), que l'on peut éventuellement noter \(\overline A_E\) (mais à n'utiliser qu'après avoir préciser que c'était une notation pour A dans E je suppose), c'est tout simplement \(E\setminus A\), càd tous les éléments de E qui ne sont pas dans A.
1.6. Notation sigma
Que l'on soit bien clairs, pour \((s_k)_{k\ge a}\) une suite de réels (voire de complexes), \(a\le b\) deux entiers naturels, lorsqu'on écrit $$s_a+s_{a+1}+s_{a+2}+\cdots+s_{b-2}+s_{b-1}+s_b$$ c'est assez peu rigoureux. On préfèrera alors écrire $$\sum_{k=a}^bs_k$$ ce qui, en soit, est exactement la même chose. Or, ici, on retrouve une variable $k$ qui semble venir de nulle part. Cette variable, que l'on appelle variable muette, ne peut être utilisée autre part que dans cette somme – c'est une variable locale, si j'ose dire. En gros, cette notation nous rapproche plus d'une boucle pour, un peu de la sorte :
\(\tt somme:r\acute eel\)
\(\tt a,b,k:entiers\)
\(\tt somme\leftarrow0\)
\(\tt pour~k~allant~de~a~\grave a~b~par~pas~de~1\)
\(\tt ~~~~somme\leftarrow somme+\it a_{\tt k}\)
\(\tt fin~pour\)
Ainsi, le \(k\) dans la somme sert ne fait que parcourir tous les entiers entre \(a\) et \(b\), et avec toutes les valeurs obtenues dans ce parcours, on additionne tous ces termes pour former la somme. Surtout, retenez bien qu'il y a \(b-a+1\) termes dans une somme parcourant les entiers de \(a\) à \(b\), et non pas \(b-a\) – cette erreur est très courante.
Imaginons, dans un exercice, que vous ayiez la formule pour la somme des entiers naturels jusqu'à \(n\), càd :
$$\sum_{k=0}^nk=\frac n2(n+1)$$
Or, on vous demande de calculer
$$\sum_{k=1}^{n+1}(k-1)$$
Comment faire ? Eh bien, la plus simple serait de légèrement décaler la variable muette ; c'est ce que l'on appelle un changement de variable. Pour cela, on doit trouver \(\ell\) tel que \(\ell=k+a\) pour une valeur \(a\) judicieusement choisie – plus vous ferez de changements de variables, plus la valeur à utiliser vous semblera évidente. Pour le coup, je choisirais \(a=-1\), car le problème c'est le \(k-1\) alors qu'on connaît la formule uniquement pour les \(k\). Ainsi, on a \(\ell=k-1\iff k=\ell+1\). On a donc une somme qui parcourt les \({\bf\ell+1}-1=\ell\) pour \(\ell\) allant de \(\textbf 1-1=0\) à \(\textbf{n+1}-1=n\), c'est-à-dire
$$\sum_{\ell=0}^n\ell=\frac n2(n+1)$$
puisque le nom de la variable muette n'importe pas, ce qui résout notre problème !
Bien sûr, puisque c'est une somme, multiplier la somme par une constante \(\lambda\in\mathbb C\) revient à multiplier chaque terme par \(\lambda\) avant de les additionner (distributivité de la multiplication sur la somme), ce qui, formellement, pour n'importe quel ensemble \(E\), se retranscrit de la sorte :
$$\lambda\sum_{e\in E}e=\sum_{e\in E}\lambda e$$
Il existe également ce que l'on appelle des sommes télescopiques, de la forme
$$\sum_{k=a}^{b-1}(s_k-s_{k+1})=s_a-s_b$$
1.7. Deux sommes à connaître
La première, prouvable par récurrence, donne
$$\sum_{k=0}^nk=\frac n2(n+1)$$
La seconde, prouvable grâce aux sommes télescopiques (hint : multipliez par \(q-1\) des deux côtés), donne
$$\sum_{k=0}^nq^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$$
pour tout \(q\ne1\), sinon ce serait simplement \(n+1\).
Chapitre 2. Ensembles et applications
1. Partitions d'un ensemble
1.1. Formulations implicites et paramétriques
Partons de l'exemple du cours : le cercle unité. Il existe diverses manières de le décrire avec un ensemble. La première,
$$\{M\in\mathcal P:d(O,M)=1\}$$
est une partition du plan euclidien \(\mathcal P\). La seconde,
$$\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2=1\}$$
nous donne une partition de l'ensemble \(\mathbb R^2\) des paires de réels. Enfin,
$$\{(\cos t,\sin t):t\in[-\pi,\pi)\}$$
nous donne une également une partition de \(\mathbb R^2\). Les deux premières descriptions sont implicites : elles prennent un ensemble et donnent les éléments de cet ensemble qui vérifient la propriété qui se trouvent après les deux-points (ou la barre verticale, ou le "tel que"). La dernière, en revanche, est dite paramétrique car donne les valeurs d'une application \([-\pi,\pi)\longrightarrow\mathbb R^2\) lorsque la variable parcourt le domaine de l'application. Tout dépend ainsi d'où se trouve le symbole \(\in\) par rapport aux deux-points/barre verticale/"tel que"
1.2. 3 opérations : ∪, ∩, complémentaire
\(A\cup B\), c'est l'union de A et de B, càd tous les éléments de soit A, soit B, soit les deux ensembles en même temps. \(A\cap B\), c'est l'intersection de A et de B, càd tous les éléments de A qui sont également dans B, et vice-versa. Enfin, le complémentaire de \(A\subset E\) dans \(E\), que l'on peut éventuellement noter \(\overline A_E\) (mais à n'utiliser qu'après avoir préciser que c'était une notation pour A dans E je suppose), c'est tout simplement \(E\setminus A\), càd tous les éléments de E qui ne sont pas dans A.
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