Bonjour tout le monde ! Aujourd'hui, on va compléter le chapitre sur
les calculs algébriques qu'on avait commencé dans le premier CM.
1.6. Notation sigma
Que l'on soit bien clairs, pour (sk)k≥a une suite de réels (voire de complexes), a≤b deux entiers naturels, lorsqu'on écrit sa+sa+1+sa+2+⋯+sb−2+sb−1+sb c'est assez peu rigoureux. On préfèrera alors écrire b∑k=ask ce qui, en soit, est exactement la même chose. Or, ici, on retrouve une variable $k$ qui semble venir de nulle part. Cette variable, que l'on appelle variable muette, ne peut être utilisée autre part que dans cette somme – c'est une variable locale, si j'ose dire. En gros, cette notation nous rapproche plus d'une boucle pour, un peu de la sorte :
somme:rˊeel
a,b,k:entiers
somme←0
pour k allant de a ˊa b par pas de 1
somme←somme+ak
fin pour
Ainsi, le k dans la somme sert ne fait que parcourir tous les entiers entre a et b, et avec toutes les valeurs obtenues dans ce parcours, on additionne tous ces termes pour former la somme. Surtout, retenez bien qu'il y a b−a+1 termes dans une somme parcourant les entiers de a à b, et non pas b−a – cette erreur est très courante.
Imaginons, dans un exercice, que vous ayiez la formule pour la somme des entiers naturels jusqu'à n, càd :
n∑k=0k=n2(n+1)
Or, on vous demande de calculer
n+1∑k=1(k−1)
Comment faire ? Eh bien, la plus simple serait de légèrement décaler la variable muette ; c'est ce que l'on appelle un changement de variable. Pour cela, on doit trouver ℓ tel que ℓ=k+a pour une valeur a judicieusement choisie – plus vous ferez de changements de variables, plus la valeur à utiliser vous semblera évidente. Pour le coup, je choisirais a=−1, car le problème c'est le k−1 alors qu'on connaît la formule uniquement pour les k. Ainsi, on a ℓ=k−1⟺k=ℓ+1. On a donc une somme qui parcourt les ℓ+1−1=ℓ pour ℓ allant de 1−1=0 à n+1−1=n, c'est-à-dire
n∑ℓ=0ℓ=n2(n+1)
puisque le nom de la variable muette n'importe pas, ce qui résout notre problème !
Bien sûr, puisque c'est une somme, multiplier la somme par une constante λ∈C revient à multiplier chaque terme par λ avant de les additionner (distributivité de la multiplication sur la somme), ce qui, formellement, pour n'importe quel ensemble E, se retranscrit de la sorte :
λ∑e∈Ee=∑e∈Eλe
Il existe également ce que l'on appelle des sommes télescopiques, de la forme
b−1∑k=a(sk−sk+1)=sa−sb
1.7. Deux sommes à connaître
La première, prouvable par récurrence, donne
n∑k=0k=n2(n+1)
La seconde, prouvable grâce aux sommes télescopiques (hint : multipliez par q−1 des deux côtés), donne
n∑k=0qk=qn+1−1q−1
pour tout q≠1, sinon ce serait simplement n+1.
Chapitre 2. Ensembles et applications
1. Partitions d'un ensemble
1.1. Formulations implicites et paramétriques
Partons de l'exemple du cours : le cercle unité. Il existe diverses manières de le décrire avec un ensemble. La première,
{M∈P:d(O,M)=1}
est une partition du plan euclidien P. La seconde,
{(x,y)∈R2:x2+y2=1}
nous donne une partition de l'ensemble R2 des paires de réels. Enfin,
{(cost,sint):t∈[−π,π)}
nous donne une également une partition de R2. Les deux premières descriptions sont implicites : elles prennent un ensemble et donnent les éléments de cet ensemble qui vérifient la propriété qui se trouvent après les deux-points (ou la barre verticale, ou le "tel que"). La dernière, en revanche, est dite paramétrique car donne les valeurs d'une application [−π,π)⟶R2 lorsque la variable parcourt le domaine de l'application. Tout dépend ainsi d'où se trouve le symbole ∈ par rapport aux deux-points/barre verticale/"tel que"
1.2. 3 opérations : ∪, ∩, complémentaire
A∪B, c'est l'union de A et de B, càd tous les éléments de soit A, soit B, soit les deux ensembles en même temps. A∩B, c'est l'intersection de A et de B, càd tous les éléments de A qui sont également dans B, et vice-versa. Enfin, le complémentaire de A⊂E dans E, que l'on peut éventuellement noter ¯AE (mais à n'utiliser qu'après avoir préciser que c'était une notation pour A dans E je suppose), c'est tout simplement E∖A, càd tous les éléments de E qui ne sont pas dans A.
1.6. Notation sigma
Que l'on soit bien clairs, pour (sk)k≥a une suite de réels (voire de complexes), a≤b deux entiers naturels, lorsqu'on écrit sa+sa+1+sa+2+⋯+sb−2+sb−1+sb c'est assez peu rigoureux. On préfèrera alors écrire b∑k=ask ce qui, en soit, est exactement la même chose. Or, ici, on retrouve une variable $k$ qui semble venir de nulle part. Cette variable, que l'on appelle variable muette, ne peut être utilisée autre part que dans cette somme – c'est une variable locale, si j'ose dire. En gros, cette notation nous rapproche plus d'une boucle pour, un peu de la sorte :
somme:rˊeel
a,b,k:entiers
somme←0
pour k allant de a ˊa b par pas de 1
somme←somme+ak
fin pour
Ainsi, le k dans la somme sert ne fait que parcourir tous les entiers entre a et b, et avec toutes les valeurs obtenues dans ce parcours, on additionne tous ces termes pour former la somme. Surtout, retenez bien qu'il y a b−a+1 termes dans une somme parcourant les entiers de a à b, et non pas b−a – cette erreur est très courante.
Imaginons, dans un exercice, que vous ayiez la formule pour la somme des entiers naturels jusqu'à n, càd :
n∑k=0k=n2(n+1)
Or, on vous demande de calculer
n+1∑k=1(k−1)
Comment faire ? Eh bien, la plus simple serait de légèrement décaler la variable muette ; c'est ce que l'on appelle un changement de variable. Pour cela, on doit trouver ℓ tel que ℓ=k+a pour une valeur a judicieusement choisie – plus vous ferez de changements de variables, plus la valeur à utiliser vous semblera évidente. Pour le coup, je choisirais a=−1, car le problème c'est le k−1 alors qu'on connaît la formule uniquement pour les k. Ainsi, on a ℓ=k−1⟺k=ℓ+1. On a donc une somme qui parcourt les ℓ+1−1=ℓ pour ℓ allant de 1−1=0 à n+1−1=n, c'est-à-dire
n∑ℓ=0ℓ=n2(n+1)
puisque le nom de la variable muette n'importe pas, ce qui résout notre problème !
Bien sûr, puisque c'est une somme, multiplier la somme par une constante λ∈C revient à multiplier chaque terme par λ avant de les additionner (distributivité de la multiplication sur la somme), ce qui, formellement, pour n'importe quel ensemble E, se retranscrit de la sorte :
λ∑e∈Ee=∑e∈Eλe
Il existe également ce que l'on appelle des sommes télescopiques, de la forme
b−1∑k=a(sk−sk+1)=sa−sb
1.7. Deux sommes à connaître
La première, prouvable par récurrence, donne
n∑k=0k=n2(n+1)
La seconde, prouvable grâce aux sommes télescopiques (hint : multipliez par q−1 des deux côtés), donne
n∑k=0qk=qn+1−1q−1
pour tout q≠1, sinon ce serait simplement n+1.
Chapitre 2. Ensembles et applications
1. Partitions d'un ensemble
1.1. Formulations implicites et paramétriques
Partons de l'exemple du cours : le cercle unité. Il existe diverses manières de le décrire avec un ensemble. La première,
{M∈P:d(O,M)=1}
est une partition du plan euclidien P. La seconde,
{(x,y)∈R2:x2+y2=1}
nous donne une partition de l'ensemble R2 des paires de réels. Enfin,
{(cost,sint):t∈[−π,π)}
nous donne une également une partition de R2. Les deux premières descriptions sont implicites : elles prennent un ensemble et donnent les éléments de cet ensemble qui vérifient la propriété qui se trouvent après les deux-points (ou la barre verticale, ou le "tel que"). La dernière, en revanche, est dite paramétrique car donne les valeurs d'une application [−π,π)⟶R2 lorsque la variable parcourt le domaine de l'application. Tout dépend ainsi d'où se trouve le symbole ∈ par rapport aux deux-points/barre verticale/"tel que"
1.2. 3 opérations : ∪, ∩, complémentaire
A∪B, c'est l'union de A et de B, càd tous les éléments de soit A, soit B, soit les deux ensembles en même temps. A∩B, c'est l'intersection de A et de B, càd tous les éléments de A qui sont également dans B, et vice-versa. Enfin, le complémentaire de A⊂E dans E, que l'on peut éventuellement noter ¯AE (mais à n'utiliser qu'après avoir préciser que c'était une notation pour A dans E je suppose), c'est tout simplement E∖A, càd tous les éléments de E qui ne sont pas dans A.
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire