Résumé CM 3 : Ensembles et applications (L1 Maths-info)

Bonjour tout le monde ! On va revoir les notions du CM 3 sous un angle un peu différent.

1.3. Démonstrations ensemblistes

L'exemple du cours d'affirmation à démontrer était $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$. Pour cela, on procède par double-inclusion, c'est-à-dire qu'on montre d'abord que $A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)$ puis que $(A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)$.

Lemme 1. $A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)$.
Pour cela, on note $\wedge$ le et logique et $\vee$ le ou inclusif logique (et/ou). On a alors
$$\begin{array}{cl} &A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)\\ \iff&\underbrace{x\in A}_{(1)}\wedge(\underbrace{x\in B}_{(2)}\vee\underbrace{x\in C}_{(3)})\longrightarrow(x\in A\cap B)\vee(x\in A\cap C) \end{array}$$ Supposons d'abord $x\in A\cap(B\cup C)$. On sait alors que $x\in A$ [(1)], et que $x\in B$ [(2)] ou $x\in C$ [(3)] (voire les deux).

• En supposant $x\in B$ [(2)], puisque $x\in A$ [(1)] aussi on a $x\in A\cap B\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)$.
  
• En supposant $x\in C$ [(3)], puisque $x\in A$ [(1)] aussi on a $x\in A\cap C\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)$.

Cela termine la preuve de cette partie-ci. □

Lemme 2. $(A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)$.
$$\begin{array}{cl} &(A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)\\ \iff&(\underbrace{x\in A\cap B}_{(4)})\vee(\underbrace{x\in A\cap C}_{(5)})\longrightarrow x\in A\wedge(x\in B\vee x\in C) \end{array}$$ Supposons que $x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$. Dans les deux cas (4) et (5), on a $x$ un élément d'un sous-ensemble de $A$, donc $x\in A$ quoi qu'il arrive.

• Supposons $x\in A\cap B$ [(4)], on a alors $x\in B\subset B\cup C$ et puisque $x\in A$, on a $x\in A\cap(B\cup C)$.
• Supposons $x\in A\cap C$ [(5)], on a alors $x\in C\subset B\cup C$ et puisque $x\in A$, on a $x\in A\cap(B\cup C)$.

Cela termine notre preuve. □

Résultat. $(A\cap B)\cup(A\cap C)=A\cap(B\cup C)$.

Puisque $A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)$ et $(A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)$, on a une double-inclusion et donc $(A\cap B)\cup(A\cap C)=A\cap(B\cup C)$.
 

2. Applications

Une application, c'est comme une fonction, mais en plus de définir $x\longmapsto[\cdots]$, on définit également au préalable les ensembles d'arrivée et de sortie. Ainsi, $x\longmapsto\sin x$ n'est pas une application car trop ambigüe : à ce compte-là, cela pourrait aussi bien être du $\mathbb R\longrightarrow\mathbb R$ que du $[-\pi,\pi]\longrightarrow[-1,1]$. En général, on définit une application $f$ comme

$$\begin{array}cf&:&E&\longrightarrow&F\\&&x&\longmapsto&[\cdots]\end{array}$$ mais seulement si $D_f\subset E$ et que $F\subset f(D_f)$, où $f(D_f)$ est défini paramétriquement par $\{f(x):x\in D_f\}$.

2.1. Quelques applications

$$\begin{array}cf&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R&~~~~~~~~&f&:&[-2,+\infty[&\longrightarrow&\mathbb C\\ &&x&\longmapsto&2x+3&&&&x&\longrightarrow&\sqrt x\end{array}$$
2.2. Surjectivité, injectivité, bijectivité
Soit une application $f:E\longrightarrow F$. On note $\#A$ le nombre d'éléments dans un ensemble $A$. Voici les définitions les moins compliquées :

• Injectivité : Pour tout $y\in F$, $\#\{\text{les}~x\in E~\text{tels que}~f(x)=y\}\le1$.
• Surjectivité : Pour tout $y\in F$, $\#\{\text{les}~x\in E~\text{tels que}~f(x)=y\}\ge1$. 
• Bijectivité : Pour tout $y\in F$, $\#\{\text{les}~x\in E~\text{tels que}~f(x)=y\}=1$ (càd injective et surjective).

Selon le cours, il faudrait techniquement retenir que :

• Injectivité : Pour tout $x_1,x_2\in E$, $f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2$.
• Surjectivité : Pour tout $y\in F$, il existe $x\in E$ tel que $f(x)=y$.
• Bijectivité : Injectivité et surjectivité en même temps.

Mais puisque ces définitions sont isomorphes et qu'on risque de s'emmêler les pédales quoi qu'il arrive, je vous conseille d'utiliser la première version puisque les définitions sont très similaires. Surtout qu'il y a un moyen mnémotechnique pour savoir quand mettre $\le1$ ou $\ge1$ : $\#\{x\in E:f(x)=y\}$ est supérieur à 1 quand $f$ est surjective, et si c'est inférieur à 1 alors c'est injectif !