Résumé CM 5 : Logique (L1 Maths-info)

Bonjour à tou·te·s ! Aujourd'hui, nous allons revenir sur le CM sur la logique qui a eu lieu jeudi dernier – et oui, on fait le chapitre 3 après le chapitre 4, c'est parfaitement logique.

Chapitre 3. Logique. 

1. Prédicats et assertions.

Une assertion, c'est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux. On d'une assertion valide que sa valeur de vérité est "Vrai" et d'une assertion erronée que sa valeur de vérité est "Faux". Par exemple, $$\forall\;n\in\mathbb N,\;n^2<n$$est une assertion qui a pour valeur de vérité "Faux". Un prédicat, c'est simplement un bout d'assertion qui peut par exemple dépendre d'une variable dont on n'a pas défini la nature préalablement. Par exemple : $$n^2<n$$est un prédicat. On ne sait pas qui est \(n\), et selon le quantificateur (\(\forall\), \(\exists\) ou encore \(\exists!\)) ainsi que le domaine de définition de \(n\) que l'on choisit pour rendre ce prédicat moins ambiguë, il se peut que l'on obtienne un résultat juste ou complètement à côté de la plaque. Par exemple, \(\forall\;n\in\mathbb Z,\;n^2<n\) est faux mais \(\forall\;x\in[1/3,2/3],\;n^2<n\) est vrai. On ne peut donc forcément assigner une valeur de vérité à un prédicat.

Opérations sur les prédicats.

Soient deux prédicats A et B. Voici les opérations que l'on peut avoir sur les prédicats en logique classique :

• et (\(\wedge\)) : (A et B) vrai si et seulement si A vrai, B vrai.
• ou (\(\vee\)) : (A ou B) vrai si et seulement si soit A vrai, soit B vrai, soit (A et B) vrai.
• non- (\(\neg\)) : non-A vrai si et seulement si A faux.
• implique (\(\implies\)) : (A implique B) est vrai si et seulement si (non-A ou B).

  
2. Quelques schémas de démonstrations.

2.1. Disjonction de cas.
Prenons l'exemple du cours, qui demandait de trouver l'ensemble \(\{x\in\mathbb R:|x-3|+|x+4|\le7\}\). Pour cela, on se munit de la définit de la valeur absolue, càd
$$|x|:=\left\{\begin{array}cx&x\ge0\\-x&x\le0\end{array}\right.$$
On trouve déjà que \(x-3\ge0\iff x\ge3\) et que \(x+4\ge0\iff x\ge-4\), donc
$$\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline x&-\infty&&-4&&3&&+\infty\\
\hline|x-3|&&3-x&:&&|&x-3\\
\hdashline|x-4|&&-4-x&|&&:&x+4\\
\hline|x-3|+|x-4|&&-1-2x&|&7&|&2x+1\\
\hline\end{array}$$
Pour \(x\le-4\) on a donc \(-1-2x\le7\iff x\ge-4\) donc seulement lorsque \(x=-4\), pour \(-4\le x\le3\) c'est plutôt trivial car on a \(7\le7\), et pour \(x\ge3\) on a \(2x+1\le7\iff x\le3\) donc seulement lorsque \(x=3\). Au final, on se retrouve avec \(\{x\in\mathbb R:|x-3|+|x+4|\le7\}=[-4,\;3]\).

2.2. Démonstrations ensemblistes.

• \(A\subset B\) : Soit \(x\in A\). Montrons que \(x\in B\). [...] donc \(x\in B\). Ainsi, \(A\subset B\).
• On peut également partir de \(E\setminus B\subset E\setminus A\) : Soit \(x\not\in B\). Montrons que \(x\not\in A\). [...] donc \(x\not\in A\). Ainsi, \(A\subset B\).
• \(x\in A\cap B\) : \(x\in A\) et \(x\in B\).
• \(x\in A\cup B\) : Soit \(x\not\in A\). Montrons que \(x\in B\). [...] donc \(x\in B\). Ainsi, \(x\in A\cup B\).

2.3. Preuves par récurrence (simple).
Imaginons que l'on veuille montrer un assertion du type \(\forall\;n\in\mathbb N,\;H_n\). On montre ainsi \(H_0\) (initialisation) puis on montre que \(H_n\implies H_{n+1}\) (hérédité), ce qui prouve notre assertion par récurrence.

Résumé CM 4 : Applications, fonctions usuelles (L1 Maths-info)

Bonjour tout le monde ! On va revenir sur le 4ème cours magistral, qui portait sur les applications et fonctions.

3. Composition.

Soient \(f:E\to F\) et \(g:G\to H\). On note pour tout \(h:I\to J\) et pour tout ensemble \(K\subset J\) que \(h^{-1}(K)=\{x\in I:h(x)\in K\}\) (cf Images et réciproques ci-dessous). Alors,
$$\begin{array}cf\circ g&:&g^{-1}(H\cap E)&\longrightarrow&f(H\cap E)\\&&x&\longmapsto&f(g(x))\end{array}$$
4. Images et réciproques.

Soit \(f:E\to F\).

• Si \(A\subset E\), \(f(A)=\{f(x):x\in A\}\).
• Si \(B\subset F\), \(f^{-1}(B)=\{x\in E:f(x)\in B\}\).

Chapitre 4. Fonctions usuelles.

1. Polynômes ℝ[x].

• Fonctions affines :
  \(\begin{array}cf&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\\&&x&\longmapsto&ax+b\end{array}\)
  Sur les graphes de fonctions affines, il faut savoir lire b, le signe de a et savoir le calculer graphiquement (\(\Delta Y/\Delta X\)).
• Trinômes du deuxième degré:
  \(\begin{array}cf&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\\&&x&\longmapsto&ax^2+bx+c&(a\ne0)\end{array}\)
  Sur les graphes de tels polynômes, il faut savoir lire b, le signe de a, trouver les racines, savoir calculer \(-b/2a\), le discriminant \(\Delta\) et lire son signe. 

2. Partie entière.
La partie entière de \(x\), notée \(\lfloor x\rfloor\) ou \(E(x)\), est définie comme l'application suivante :
$$\begin{array}cE&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb Z\\&&x&\longmapsto&\max\{n\in\mathbb Z:n\le x\}\end{array}$$C'est une fonction qui ressemble à un escalier de marches régulières.

Aparté : Soit \(\{\!\!\{x\}\!\!\}=x-\lfloor x\rfloor\). Alors,

$$\int\;\lfloor x\rfloor\;\text dx=\left\lfloor\sqrt{x^2}\right\rfloor\left(\left\{\!\!\left\{\sqrt{x^2}\right\}\!\!\right\}+\frac12\left\lfloor\sqrt{x^2}-1\right\rfloor\right)\text{sgn}\;n+\text{constante}$$ ce qui, bien sûr, lorsque \(x\) parcourt les réels de 0 à \(n\in\mathbb N\), coïncide avec la somme des \(n\) premiers nombres entiers :

$$\int_0^n\;\lfloor x\rfloor\;\text dx=\frac12\;n\;(n+1)$$

3. Fonctions trigonométriques.
Il est attendu que l'on connaisse, ou au moins nous puissions retrouver les relations trigonométriques suivantes :

• \(\sin(\pi/2-\alpha)=+\cos\alpha\)
• \(\sin(\pi/2+\alpha)=+\cos\alpha\)
• \(\cos(\pi/2-\alpha)=-\sin\alpha\)
• \(\cos(\pi/2+\alpha)=+\sin\alpha\)

Résumé CM 3 : Ensembles et applications (L1 Maths-info)

Bonjour tout le monde ! On va revoir les notions du CM 3 sous un angle un peu différent.

1.3. Démonstrations ensemblistes

L'exemple du cours d'affirmation à démontrer était \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\). Pour cela, on procède par double-inclusion, c'est-à-dire qu'on montre d'abord que \(A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)\) puis que \((A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)\).

Lemme 1. \(A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
Pour cela, on note \(\wedge\) le et logique et \(\vee\) le ou inclusif logique (et/ou). On a alors
$$\begin{array}{cl}
&A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)\\
\iff&\underbrace{x\in A}_{(1)}\wedge(\underbrace{x\in B}_{(2)}\vee\underbrace{x\in C}_{(3)})\longrightarrow(x\in A\cap B)\vee(x\in A\cap C)
\end{array}$$Supposons d'abord \(x\in A\cap(B\cup C)\). On sait alors que \(x\in A\) [(1)], et que \(x\in B\) [(2)] ou \(x\in C\) [(3)] (voire les deux).

• En supposant \(x\in B\) [(2)], puisque \(x\in A\) [(1)] aussi on a \(x\in A\cap B\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
  
• En supposant \(x\in C\) [(3)], puisque \(x\in A\) [(1)] aussi on a \(x\in A\cap C\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)\).

Cela termine la preuve de cette partie-ci. □

Lemme 2. \((A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)\).
$$\begin{array}{cl}
&(A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)\\
\iff&(\underbrace{x\in A\cap B}_{(4)})\vee(\underbrace{x\in A\cap C}_{(5)})\longrightarrow x\in A\wedge(x\in B\vee x\in C)
\end{array}$$Supposons que \(x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)\). Dans les deux cas (4) et (5), on a \(x\) un élément d'un sous-ensemble de \(A\), donc \(x\in A\) quoi qu'il arrive.

• Supposons \(x\in A\cap B\) [(4)], on a alors \(x\in B\subset B\cup C\) et puisque \(x\in A\), on a \(x\in A\cap(B\cup C)\).
• Supposons \(x\in A\cap C\) [(5)], on a alors \(x\in C\subset B\cup C\) et puisque \(x\in A\), on a \(x\in A\cap(B\cup C)\).

Cela termine notre preuve. □

Résultat. \((A\cap B)\cup(A\cap C)=A\cap(B\cup C)\).

Puisque \(A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)\) et \((A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)\), on a une double-inclusion et donc \((A\cap B)\cup(A\cap C)=A\cap(B\cup C)\).
 

2. Applications

Une application, c'est comme une fonction, mais en plus de définir \(x\longmapsto[\cdots]\), on définit également au préalable les ensembles d'arrivée et de sortie. Ainsi, \(x\longmapsto\sin x\) n'est pas une application car trop ambigüe : à ce compte-là, cela pourrait aussi bien être du \(\mathbb R\longrightarrow\mathbb R\) que du \([-\pi,\pi]\longrightarrow[-1,1]\). En général, on définit une application \(f\) comme

$$\begin{array}cf&:&E&\longrightarrow&F\\&&x&\longmapsto&[\cdots]\end{array}$$mais seulement si \(D_f\subset E\) et que \(F\subset f(D_f)\), où \(f(D_f)\) est défini paramétriquement par \(\{f(x):x\in D_f\}\).

2.1. Quelques applications

$$\begin{array}cf&:&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R&~~~~~~~~&f&:&[-2,+\infty[&\longrightarrow&\mathbb C\\
&&x&\longmapsto&2x+3&&&&x&\longrightarrow&\sqrt x\end{array}$$
2.2. Surjectivité, injectivité, bijectivité
Soit une application \(f:E\longrightarrow F\). On note \(\#A\) le nombre d'éléments dans un ensemble \(A\). Voici les définitions les moins compliquées :

• Injectivité : Pour tout \(y\in F\), \(\#\{\text{les}~x\in E~\text{tels que}~f(x)=y\}\le1\).
• Surjectivité : Pour tout \(y\in F\), \(\#\{\text{les}~x\in E~\text{tels que}~f(x)=y\}\ge1\). 
• Bijectivité : Pour tout \(y\in F\), \(\#\{\text{les}~x\in E~\text{tels que}~f(x)=y\}=1\) (càd injective et surjective).

Selon le cours, il faudrait techniquement retenir que :

• Injectivité : Pour tout \(x_1,x_2\in E\), \(f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2\).
• Surjectivité : Pour tout \(y\in F\), il existe \(x\in E\) tel que \(f(x)=y\).
• Bijectivité : Injectivité et surjectivité en même temps.

Mais puisque ces définitions sont isomorphes et qu'on risque de s'emmêler les pédales quoi qu'il arrive, je vous conseille d'utiliser la première version puisque les définitions sont très similaires. Surtout qu'il y a un moyen mnémotechnique pour savoir quand mettre \(\le1\) ou \(\ge1\) : \(\#\{x\in E:f(x)=y\}\) est supérieur à 1 quand \(f\) est surjective, et si c'est inférieur à 1 alors c'est injectif !

Résumé CM 2 : Calculs, ensembles (L1 Maths-info)

Bonjour tout le monde ! Aujourd'hui, on va compléter le chapitre sur les calculs algébriques qu'on avait commencé dans le premier CM.

1.6. Notation sigma
Que l'on soit bien clairs, pour \((s_k)_{k\ge a}\) une suite de réels (voire de complexes), \(a\le b\) deux entiers naturels, lorsqu'on écrit $$s_a+s_{a+1}+s_{a+2}+\cdots+s_{b-2}+s_{b-1}+s_b$$ c'est assez peu rigoureux. On préfèrera alors écrire $$\sum_{k=a}^bs_k$$ ce qui, en soit, est exactement la même chose. Or, ici, on retrouve une variable $k$ qui semble venir de nulle part. Cette variable, que l'on appelle variable muette, ne peut être utilisée autre part que dans cette somme – c'est une variable locale, si j'ose dire. En gros, cette notation nous rapproche plus d'une boucle pour, un peu de la sorte :
\(\tt somme:r\acute eel\)
\(\tt a,b,k:entiers\)
\(\tt somme\leftarrow0\)
\(\tt pour~k~allant~de~a~\grave a~b~par~pas~de~1\)
\(\tt ~~~~somme\leftarrow somme+\it a_{\tt k}\)
\(\tt fin~pour\)
Ainsi, le \(k\) dans la somme sert ne fait que parcourir tous les entiers entre \(a\) et \(b\), et avec toutes les valeurs obtenues dans ce parcours, on additionne tous ces termes pour former la somme. Surtout, retenez bien qu'il y a \(b-a+1\) termes dans une somme parcourant les entiers de \(a\) à \(b\), et non pas \(b-a\) – cette erreur est très courante.
Imaginons, dans un exercice, que vous ayiez la formule pour la somme des entiers naturels jusqu'à \(n\), càd :
$$\sum_{k=0}^nk=\frac n2(n+1)$$
Or, on vous demande de calculer
$$\sum_{k=1}^{n+1}(k-1)$$
Comment faire ? Eh bien, la plus simple serait de légèrement décaler la variable muette ; c'est ce que l'on appelle un changement de variable. Pour cela, on doit trouver \(\ell\) tel que \(\ell=k+a\) pour une valeur \(a\) judicieusement choisie – plus vous ferez de changements de variables, plus la valeur à utiliser vous semblera évidente. Pour le coup, je choisirais \(a=-1\), car le problème c'est le \(k-1\) alors qu'on connaît la formule uniquement pour les \(k\). Ainsi, on a \(\ell=k-1\iff k=\ell+1\). On a donc une somme qui parcourt les \({\bf\ell+1}-1=\ell\) pour \(\ell\) allant de \(\textbf 1-1=0\) à \(\textbf{n+1}-1=n\), c'est-à-dire
$$\sum_{\ell=0}^n\ell=\frac n2(n+1)$$
puisque le nom de la variable muette n'importe pas, ce qui résout notre problème !
Bien sûr, puisque c'est une somme, multiplier la somme par une constante \(\lambda\in\mathbb C\) revient à multiplier chaque terme par \(\lambda\) avant de les additionner (distributivité de la multiplication sur la somme), ce qui, formellement, pour n'importe quel ensemble \(E\), se retranscrit de la sorte :
$$\lambda\sum_{e\in E}e=\sum_{e\in E}\lambda e$$
Il existe également ce que l'on appelle des sommes télescopiques, de la forme
$$\sum_{k=a}^{b-1}(s_k-s_{k+1})=s_a-s_b$$

1.7. Deux sommes à connaître
La première, prouvable par récurrence, donne
$$\sum_{k=0}^nk=\frac n2(n+1)$$
La seconde, prouvable grâce aux sommes télescopiques (hint : multipliez par \(q-1\) des deux côtés), donne
$$\sum_{k=0}^nq^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$$
pour tout \(q\ne1\), sinon ce serait simplement \(n+1\).


Chapitre 2. Ensembles et applications

1. Partitions d'un ensemble

1.1. Formulations implicites et paramétriques
Partons de l'exemple du cours : le cercle unité. Il existe diverses manières de le décrire avec un ensemble. La première,
$$\{M\in\mathcal P:d(O,M)=1\}$$
est une partition du plan euclidien \(\mathcal P\). La seconde,
$$\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2=1\}$$
nous donne une partition de l'ensemble \(\mathbb R^2\) des paires de réels. Enfin,
$$\{(\cos t,\sin t):t\in[-\pi,\pi)\}$$
nous donne une également une partition de \(\mathbb R^2\). Les deux premières descriptions sont implicites : elles prennent un ensemble et donnent les éléments de cet ensemble qui vérifient la propriété qui se trouvent après les deux-points (ou la barre verticale, ou le "tel que"). La dernière, en revanche, est dite paramétrique car donne les valeurs d'une application \([-\pi,\pi)\longrightarrow\mathbb R^2\) lorsque la variable parcourt le domaine de l'application. Tout dépend ainsi d'où se trouve le symbole \(\in\) par rapport aux deux-points/barre verticale/"tel que"

1.2. 3 opérations : ∪, ∩, complémentaire
\(A\cup B\), c'est l'union de A et de B, càd tous les éléments de soit A, soit B, soit les deux ensembles en même temps. \(A\cap B\), c'est l'intersection de A et de B, càd tous les éléments de A qui sont également dans B, et vice-versa. Enfin, le complémentaire de \(A\subset E\) dans \(E\), que l'on peut éventuellement noter \(\overline A_E\) (mais à n'utiliser qu'après avoir préciser que c'était une notation pour A dans E je suppose), c'est tout simplement \(E\setminus A\), càd tous les éléments de E qui ne sont pas dans A.

Résumé CM 1 : Calculs algébriques (L1 Maths-info)

Bonjour tout le monde ! Puisque j'ai déjà mis·e sous format vidéo le résumé de ce CM-ci, je vous renvoie vers celle-ci :